מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: מספרים מרוכבים

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מספרים מרוכבים

    אשמח לעזרה
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: jpg image.jpg‏ (2.16 מגה , 14 צפיות) שאלה 123: יהא 3 - 4 - . מצאו מספר מרוכב יו? בעל המודול הגדול ביותר שעבורו מתקיים4 < 202:----- תשובה: ן+--- י כל הזכויות שמורות לפקולטה למתמטיקה, הטכניון2המשך עזרהmathnet - 2021-10-12T132646,075.jnlp פרק בmathnet - 2021-10-12T132431,436.jnlp סתם קרים וקליפ 12 כוחmathnet - 2021-10-12T132324.079 פתח קובץ רארד
    אהבתי מספרים מרוכביםam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נכתוב את התנאי בצורה
    $
    |w-(-z)|\le20
    $
    מכאן רואים שכל המספרים שמקיימים את התנאי נמצאים בתוך מעגל שרדיוסו $20$ ומרכזו ב $-z$
    ומכאן שהמספר בעל המודול הגדול ביותר המקיים את התנאי (הרחוק ביותר מן הראשית והנמצא על המעגל) הוא נקודת החיתוך של המשך הוקטור $-z$ עם המעגל. קל לראות שמספר זה הוא:
    $w^*=R\dfrac{-z}{|z|}
    $
    כאשר המודול הוא:
    $R=|z|+20=25$

    והזוית ניתנת ע"י

    $
    \dfrac{-z}{|z|} = -\dfrac15 (4+3i)
    $

    לכן

    $
    w^*=-20-15i
    $
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 13-10-2021 בשעה 21:13
    אהבתי מספרים מרוכביםam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב,

    פתרון יפה משיקולים גיאומטריים

    רצ"ב דרך נוספת לפתרון התרגיל הנה שימוש בשיטת כופלי לגרנז' המוכרת מחדו"א (רלוונטית אם הנושא הזה כבר נלמד)


    נסמן את המספר המרוכב המבוקש w ב-x+iy
    החלק הממשי מסומן ב-x
    החלק המדומה מסומן ב-y

    $z+w=4+3i+x+yi=(x+4)+(y+3)i$
    נתון האילוץ:
    $|ז+w| \leq 20$

    זאת אומרת שהמודול של המxפר המרוכב z+w אינו עולה על 20, לכן
    $|z+w| \leq 20 \to |(x+4)+(y+3)i| \leq 20 \to \sqrt{(x+4)^2+(y+3)^2 } \le 20 \to (x+4)^2+(y+3)^2 \leq 20^2=400$

    אנחנו צריכים למצוא w כזה שמקיים את האילוץ והמודול שלו מקסימלי או לחילופין המודול שלו בריבוע מקסימלי
    $w=x+yi \to |w|=\sqrt{x^2+y^2} \to |w|^2 = x^2+y^2$

    נגדיר אם כן את הפונקציה
    $f(x,y)=x^2+y^2$

    צריכים למצוא עבור אילו ערכי x ו-y היא מקבלת מקסימום בתחוםׁ(נסמנו g(x,y))


    ִ$g(x,y)= (x+4)^2+(y+3)^2 \leq =400$

    נשים לב שהתחום הוא עיגול כולל השפה שמרכזו
    $(-4, -3ׂ)$

    ורדיוסו 20 יח

    העיגול הזה הוא תחום סגור וחסום. הפונקציה f(x,y)רציפה בתור פולינום. לפי משפט וירשטרס השני היא מקבלת בתחום זה מינימום ומקסימום

    המקסימום של הפונקציה הנ"ל הוא או שבפנים לעיגול או שהוא על השפה

    אם הוא בפנים לעיגול(בתוך התחום) אז הנקודה בה הוא מתקבל היא נקודה קריטית - זאת שהנגזרת של הפונקציה בה לפי x והנגזרת של הפונקציה בה לפי y
    שווים ל-0

    $f_x(x,y)=2x=0 \to x=0, f_y(x,y)=2y=0 \to y=0$
    כלומר נקודה אחת כמועמדת למקסימום מוחלט היא (0,0)

    נחפש נקודות כאלו על השפה. לפי שיטת כוופלי לגרנז', המינימום והמקסימום המוחלטים מתקבלות בנקודות בהן הגרדיאנטים-וקטורי הנגזרות של הפונקציה ושל משוואת התחום לפי x ולפי y מקבילים.

    הגרדיאנט של הפונקציה f הוא:
    ִִ$(2x,2y)$

    הגרדיאנט של משוואת המעגל g הוא:
    $2(x+4), 2(y+3)$

    הוקטורים הנ"ל מקבילים לכן הם פרופורציוניים. כל רכיב בוקטור הגרדיאנט של f שווה למספר ממשי למבדא כפול הגרדיאנט של g
    נקבל את המשוואות הבאות:
    $2x=2 \lambda (x+4)$

    $2y=2 \lambda (y+3)$

    המשוואה השלישית היא משוואת המעגל

    $ִg(x,y)= (x+4)^2+(y+3)^2 \leq =400$

    כדי למצוא את ואת y לא נוכל לחלק בין המשוואות הראשונות סתם כך
    יש לדון במקרים בהם למבדא, x ו-y שווים לאפס ולפסול או לטפל בנפרד במקרים אלו

    אם למבדא שווה ל-0 נקבל
    $x=y=0$

    הנקודה 0,0 אינה נמצאת על המעגל שמשוואתו g. היא אינה מקיימת את משוואת המעגל הנ"ל. לכן למבדא שווה ל-0 לא יתכן
    אם x=0 נקבל
    $2 \cdot 0 =0= 2 \lambda \cdot(0+4)=8 \cdot \lambda \to 0= 8 \cdot \lambda$
    והיות ולמבדא אינו 0 נקבל 0=8 דבר שלא יתכן

    באותו אופן גם y שונה מ-0

    עכשיו שמשתנים אלו אינם יכולים להיות שווים ל-0 נוכל לחלק את המשוואה השנייה בראשונה. נקבל:
    $\frac{y}{x}=\frac{y+3}{x+4} \to y \cdot (x+4)= x \cdot(y+3) \to xy+4y=xy+3x \to 4y=3x \to y= \frac{3}{4} \ddot x$

    נציב במקום y את שלושה רבעים של X נקבל
    $(x+4)^2+(\frac{3}{4} \cdot x+3)^2=400$
    $ x^2 +8x +16 + \frac{9}{16} \cdot x^2 + \frac{18}{4} \cdot x+9=400$

    נכפיל ב-16 את אגפי המשוואה נקבל
    $16 \cdot x^2+128x+256+9 \cdot x^2+72x+144=25 \cdot x^2 +200x +400=6400 \to 25 \cdot x^2+200x+400-6400=0$
    $\to25 \cdot x^2+200x-600=0$
    אפשר לחלק ב-25 את שני אגפי המשוואה כדי לקבל משוואה פשוטה יותר
    $x^2+8x-240=0$

    הפתרונות שלה הם

    $x1=12 \to y1=\frac{3}{4} \cdot 12=9$
    $x2=-20 \to y1 = \frac{3}{4} \cdot (-20)=-15$


    קיבלנו עוד שני מועמדים למקסימום מוחלט

    עכשיו נבדוק עבור אלו x ו-y שמצאנו ערך f(x,y) גדול ביותר
    $f(0,0)=0^2+0^2=0$
    $f(12,9)=12^2+9^2=144+81=225$
    $f(-20,-15)=(-20)^2+(-15)^2=400+225=625$

    רואים כי עבור x=-20 y=-15 מתקבל מקסימום מוחלט של הפונקציה f

    מכאן w המקיים את האילוץ ומודולו הוא מקסימלי הינו
    $w=-20-15i$

    כמו שיצא גם בתגובה הראשונה



    בברכה
    עמוס
    אהבתי מספרים מרוכביםavi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 5

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו