מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: גבול מאתגר של סדרה

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל גבול מאתגר של סדרה

    שלום לכולם,

    רצ"ב שאלה מאתגרת אולי בנושא גבול של סדרה

    נתונה הסדרה הבאה
    $a_n = (1-\frac{1}{4}) \cdot (1-\frac{1}{9}) \cdot (1-\frac{1}{16}) \cdot ...\cdot (1-\frac{1}{n^2}) ; n\geq 2, n \to \infty$

    א. יש להוכיח שהסדרה מתכנסת

    ב. יש לחשב את גבולה



    בברכה

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    רמז לסעיף א: נסו להוכיח מונוטוניות וחסימות של הסדרה

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב וחג חנוכה שמח,

    סעיף א:

    יש לשים לב שהסדרה הנתונה חיובית לכל n ולכן האיבר הכללי חסום מלמטה על ידי 0

    בנוסף האיבר הכללי הולך וקטן ככל שגודל n

    $a_{n+1}=a_n \cdot (1-\frac{1}{(n+1)^2}$

    מכפילים את האיבר הקודם במספר חיובי קטן מ-1

    יש לנו7 סדרה מונוטונית יורדת ןחס7ומה מלמט6ה. לפי משפט המונוטוניות והחסימות היא מתכנסת


    סעיף ב:

    ננסה לרשום את האיבר הכללי בצורה קצת אחרת:$a_n= (1-\frac{1}{4}) \cdot (1-\frac{1}{9}) \cdot (1-\frac{1}{16}) \cdot ...\cdot (1-\frac{1}{(n+1)^2}$

    $=(1-\frac{1}{2}) \cdot (1+\frac{1}{2}) \cdot (1-\frac{1}{3}) \cdot (1+\frac{1}{3})...\cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1+\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1+\frac{1}{n+1})$

    שימו שלב גורמי המכפלה מהווים טור טלסקופי. עבור כל גורם תת הגורם השני שלו מצטמצם עם תת הגורם הראשון של הגורם שלאחריו

    $=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot ...\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n+2}{n+1}$

    נקבל אחרי ביצוע הצמצומים המתאימים:

    $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 ...1 \cdot \frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{n+2}{n+1}$


    $a_n=\frac{1}{2} \cdot \frac{n+2}{n+1}$

    עכשיו נוח יותר לחשב את הגבול המבוקש

    $lim a_n=lim \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2}{n+1}= \frac{1}{2} \cdot lim \frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1+0}{1+0}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}=\frac{1}{2} \cdot 1=0.5$

    $n \to \infty $

    הגבול המבוקש הוא חצי

    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 28-11-2021 בשעה 11:28

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 5

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו