מערכת משוואות לא סטנדרטיות

[am12348]

שבוע טוב,

רצ"ב מערכת שתי משוואות שאחת מהן לא סטנדרטית בשני נעלמים שראיתי באחד הפורומים של חו"ל ורציתי
להעלות אותה בפורום כדי שמישהו ינסה לפתור

$2^x+x=2^y+y$
$x+y=12$

צריך למצוא שורשים ממשיים

נראה לכאורה מסובך. נכון? התשובה היא שעם שיקולים מתמטיים אפשר לפשט ולהגיע לפתרון די פשוט


עמוס

[am12348]

רמז:
נסו לראות מה דומה בין שני האגפים במשוואה הראשונה
האם על סמך זה ניתן להגדיר פונקציה שלפי תכונותיה אפשר
להסיק קשר פשוט בין x ו-y? ואז פתרון המשוואה יהיה פשוט יותר

[am12348]

שלום לכולם,

רצ"ב הצעה לפתרון של מערכת המשוואות שנראית לכאורה קשה לפתרון

שימו לב למשותף בין שני אגפי המשוואה הראשונה. הצורה היא:

ִ$2^t+t, t=x, t=y$


נגדיר פונקציה f(t)

$f(t)=2^t+t$
נוכיח שהפונקציה חח"ע. נוכיח לדוגמא שהפונקציה עולה
אפשר להוכיח שהפונקציה עולה ע"י גזירה(אנחנו מחפשים פתרונות ממשיים-לכן על ידי גזירת הפונקציה נקבל ערכים ממשיים שיאפשרו לנו להסיק על התנהגות הפונקציה)




$f'(t)=ln2 \cdot 2^t +1$
לא כ"כ קשה לראות שהנגזרת חיובית ממש לכל ערך של t
ln2>0
לפי משפט בחדו"א הפונקציה עולה ממש ולכן היא חח"ע
לכן אם
$f(x)=2^x+x=2^y+y=f(y) \to x=y$

מערכת המשוואות הופכת ל-
$x=y,x+y=12 \to x=y=6$

בברכה
עמוס