אינטגרל לא אמיתי

[יחיאלמנשירוב]

למישהו יש ראיון איך ניגשים לאינטגרל מוכלל כשה יש לו אינסוף משני כיוונים איך עדיף לי לפרק את זה וכן אני שםמתי לב כי התוצאה עצמה היא arctan(x) אף איך אני מטפל בגבולות

[am12348]

שבוע טוב,

אם למדת את הקורס פונקציות מרוכבות, אפשר להשתמש במשפט השארית שצוין פתרון הקודם
לפתרון התרגיל.
אם לא, אפשר להשתמש בכלים המוכרים מחדו"א

משתמש בעובדה שהפונקציה הקדומה של
$\frac{1}{1+x^2}$

היא: arctgx

נמצא ביטוי עבור האינטגרל הלא אמיתי
$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+c^2} dx = lim \int_{-b}^b \frac{1}{x^2+c^2} dx, b \to \infty$

b>0
נחשב את הפונקציה הקדומה של :

$\frac{1}{x^2+c^2}$
נרשום כמו שנרשם בתגובה הקודמת:
כמו שנתון c חיובי גדול מ-0

$\frac{1}{x^2+c^2} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{(\frac{x}{c})^2+1}$

נציב
$t=\frac{x}{c} \to dt=\frac{1}{c} dx \to dx=c dt$

נחזור לאינטגרל שיש לחשב
$\int \frac{1}{x^2+c^2} dx = \int \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{(\frac{x}{c})^2+1} dx \to \int \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{t^2+1} c dt =$
$\int \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{1}{c} \cdot arctgt \to \frac{1}{c} \cdot arctg(\frac{x}{c}) + קבוע$

נציב b ו-b- ונחשב את האינטגרל המסויים

$\frac{1}{c} \cdot ( arctg(\frac{b}{c}) -arctg(-\frac{b}{c})) $


$lim \frac{1}{c} \cdot ( arctg(\frac{b}{c}) -arctg(-\frac{b}{c})), b \to \infty = \frac{1}{c} \cdot (\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}))=\frac{1}{c} \cdot \pi$

יש שימוש בגבולות:
$lim arctgx=\frac{\pi}{2}, x \to \infty, lim arctgx=-\frac{\pi}{2}, x \to -\infty$

נתון שערך זה שווה ל-
$\frac{1}{c} \cdot \pi = 1.5 \pi$

לכן

$\frac{1}{c} = \frac{1.5 \pi}{\pi} \to c=\frac{\pi}{1.5 \pi}=\frac{2}{3}$
לכן הקבוע החיובי c שווה לשני שליש - תשובה ב

[אריאל]

$$ \frac{1}{x^2+c^2} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{ 1}{ (\frac{x}{c}) ^2 + 1 }$$

נסמן $ u = \frac{x}{c} \to \frac{du}{dx} = \frac{1}{c} \to dx=c\cdot du $

ולכן האינטגרל הוא

$$ \frac{1}{c^2} \cdot \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2+1}du $$

מכאן תוכל להשתמש במרוכבים במשפט הרסידו על חצי מעגל עליון מ -R ל R כאשר R שואף לאינסוף ויש לך את הנקודות הסינגולריות של $ u=i,-i$

[am12348]

שבוע טוב,

אם למדת את הקורס פונקציות מרוכבות, אפשר להשתמש במשפט השארית שצוין פתרון הקודם
לפתרון התרגיל.
אם לא, אפשר להשתמש בכלים המוכרים מחדו"א

משתמש בעובדה שהפונקציה הקדומה של
$\frac{1}{1+x^2}$

היא: arctgx

נמצא ביטוי עבור האינטגרל הלא אמיתי
$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+c^2} dx = lim \int_{-b}^b \frac{1}{x^2+c^2} dx, b \to \infty$

b>0
נחשב את הפונקציה הקדומה של :

$\frac{1}{x^2+c^2}$
נרשום כמו שנרשם בתגובה הקודמת:
כמו שנתון c חיובי גדול מ-0

$\frac{1}{x^2+c^2} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{(\frac{x}{c})^2+1}$

נציב
$t=\frac{x}{c} \to dt=\frac{1}{c} dx \to dx=c dt$

נחזור לאינטגרל שיש לחשב
$\int \frac{1}{x^2+c^2} dx = \int \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{(\frac{x}{c})^2+1} dx \to \int \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{t^2+1} c dt =$
$\int \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{1}{c} \cdot arctgt \to \frac{1}{c} \cdot arctg(\frac{x}{c}) + קבוע$

נציב b ו-b- ונחשב את האינטגרל המסויים

$\frac{1}{c} \cdot ( arctg(\frac{b}{c}) -arctg(-\frac{b}{c})) $


$lim \frac{1}{c} \cdot ( arctg(\frac{b}{c}) -arctg(-\frac{b}{c})), b \to \infty = \frac{1}{c} \cdot (\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}))=\frac{1}{c} \cdot \pi$

יש שימוש בגבולות:
$lim arctgx=\frac{\pi}{2}, x \to \infty, lim arctgx=-\frac{\pi}{2}, x \to -\infty$

נתון שערך זה שווה ל-
$\frac{1}{c} \cdot \pi = 1.5 \pi$

לכן

$\frac{1}{c} = \frac{1.5 \pi}{\pi} \to c=\frac{\pi}{1.5 \pi}=\frac{2}{3}$
לכן הקבוע החיובי c שווה לשני שליש - תשובה ב