מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: משולש שווה צלעות - תכונה מעניינת נוספת

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משולש שווה צלעות - תכונה מעניינת נוספת
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שבוע טוב,

    ראינו כבר תכונה מעניינת במשולש שווה צלעות: סכום מרחקי נקודה פנימית במשולש שווה צלעות קבוע
    ושווה לגובה המשולש.

    רצ"ב בעיית הוכחת תכונה מעניינת נוספת

    נתון משולש שווה צלעות ABC

    M נקודה כלשהיא פנימית במשולש זה

    מקודה זאת מורידים אנכים MN MP MQ על הצלעות BC AC AB בהתאמה (ראו שרטוט)

    נסמן את אורך צלע המשולש שווה הצלעות ב-a

    צ"ל
    ִ$AQּ+BNּ+CP=1.5a$
    (ראו שרטוט)

    כלומר צריך להוכיח שסכום היטלי AM BM CM כל הצלעות AB BC AC הוא קבוע ושווה למחצית היקף המשולש

    בברכה
    עמוס
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 05-10-2021 בשעה 21:23

  2. #2
    מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    היכן ציור

  3. #3
    מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    סידרתי

  4. #4
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הוכחה

    שבוע טוב,

    המשולשים:
    $\Delta BQM, \Delta AQMִ, \Delta APM, \Delta CPM, \Delta BNM, \Delta CNM$
    ישרי זווית. לכן לפי משפט פיתגורס מתקיים(ראו שרטוט)

    עבור המשולשים AQM ו-BQM
    ִ$QMֶ^2=AMֶ^2-AQֶ^2=BMֶ^2-BQֶ^2 \to AMֶ^2-BMֶֶ^2=AQ^2-BQ^2$

    עבור המשולשים APM ו-CPM
    $PMֶ^2=MCֶ^2-PCֶ^2=AMֶ^2-APֶֶ^2 \to MC^2-AMֶֶ^2=PC^2-APֶ^2$

    עבור המשולשים BNM ו-CNM
    $MNֶ^2=BM^2-BN^2=MCֶֶ^2-NCֶ^2 \to BM^2-MCֶֶ^2=BN^2-NC^2$

    הסבר: לכ"א מזוגות המשולשים צלע משותפת ולכן השוויון

    נחבר את האגפים מימין ומשמאל של שלושת השוויונים ונקבל:

    $AMֶ^2-BMֶֶ^2+MC^2-AMֶֶ^2+BM^2-MCֶֶ^2=AQ^2-BQ^2+PC^2-APֶ^2+BN^2-NC^2$

    $\downarrow$

    באגף השמאלי "מתקזזים" איברים והוא מתאפס נקבל

    $AQ^2-BQ^2+PC^2-APֶ^2+BN^2-NC^2=0$

    ואחרי העברות אגפים

    $AQ^2+PC^2+BN^2=BQֶ^2+APֶ^2+NCֶֶ^2$

    נציב(ראו שרטוט) a אורך צלע המשולש שווה הצלעות הנתון
    $AP=a-PC, BQ=a-AQ, NC=a-BN$

    נקבל:

    $AQ^2+PC^2+BN^2=ׁ(a-AQ)^2+(a-PC)^2+(a-BN)^2$

    $\downarrow$


    $AQ^2+PC^2+BN^2=ׁa^2 - 2 \cdot a \cdot AQ + AQ^2 +a^2 - 2 \cdot a \cdot PC +PC^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot BN +BN^2$

    ה-AQ בריבוע, PC בריבוע ו-BN בריבוע "מתקזזים" בשני האגפים . נשארים עם השוויון:

    $a^2 - 2 \cdot a \cdot AQ +a^2 - 2 \cdot a \cdot PC + a^2 - 2 \cdot a \cdot BN=0 $


    $\downarrow$

    $3 \cdot a^2=2 \cdot a \cdot AQ + 2 \cdot a \cdot PC +2 \cdot a \cdot BN=2 \cdot a \cdot (AQ+PC+BN)$

    נחלק את שני האגפים של השוויון ב-2a השונה מ-0 ונקבל:
    $AQ+PC+BN =1.5a$
    במילים אחרות סכום שה שווה למחצית היקף המשולש

    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 31-10-2021 בשעה 00:19

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו