• Dmot

      ע"י ,

      שלום לכולם כרגיל, אני בצבא. רציתי להמשיך לכתוב פוסטים בגיאומטריה, אבל זה נחל כישלון דיי גדול (ניתן לראות זאת היטב באתר בלשונית "כתבות", שלאחר חודש ויותר ישנן 117 צפיות בסה"כ בפוסט העדכני ביותר), אז עצרתי לאחר משפט תלמי (היו עוד כמה משפטים שרציתי להוסיף, אבל, חיים עם מה שיש, לא?). בנוסף, התלוננתי לא מעט בזמן האחרון על אנשים שמגיבים עם אותו הפתרון בהפרש של 10 ויותר, דבר שבחרו להתעלם ממנו. כמו-כן, דף העבודות בעקבות הכתבות גם הוא נחל כישלון חרוץ.
      אם חשבתם שזה יגרום לי לוותר? אולי, אבל כמה אנשים חשובים אמרו לי שהעיקר האיכות ולא הכמות - וקיבלתי גם כמה תגובות יפות מאנשים על הכתבות הללו ועל העזרה. והרי אנחנו כאן בשביל האנשים לעזור להם, לא רק בשביל הלייקים, נכון? ולכן, הנה כתבה קצרצרה על סכומים שכתבתי. תהנו

      אז...סכומים?
      אם פותחים את ספר בני גורן, או למעשה, כל ספר אחר, בסעיף האינדוקציה (שירד, לצערינו הרב, מתוכנית הבגרות. למה לצערינו הרב? מה גם שזו הייתה שאלה קלה יחסית בכל הבגרויות, היא גם הייתה שימושית במיוחד באוניברסיטה, ולמעשה, אפשר להגיד, שאחת מהשימושיים ביותר!), רואים שלל נוסחאות מוזרות שלא ברור איך הגיעו אליהם. כך למשל, הנוסחא (\frac{1}{2}-\frac{1}{8})(\frac{1}{3}-\frac{1}{27})(\frac{1}{4}-\frac{1}{64})...(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^3})=\frac{n+1}{2n!n} המופיעה הספר של בני גורן, אלגברה חלק ו. אותן נוסחאות מוזרות ומפחידות מאוד (בייחוד הסימן "..." שלוקח זמן רב להתרגל אליו...). מטרידות מאוד את התלמידים (או לפחות אותי, בהתחלה), וגורמים לאיבוד אמון באינדוקציה. זה כמובן נושא לפוסט אחר, שניתן לקרוא באתר "לא מדוייק" בקישור הזה: גם אני לא מאמין באינדוקציה (כי לאמונה אין קשר לזה) | לא מדויק.
      ומצד שני, איכשהו, יש דרך להגיע אל הנוסחאות הללו, לא? איך גילו אותן מלכתחילה? האם דרך ניסוי וטעייה? לא נראה הגיוני במיוחד. אולי עוד אפשר להניח כי ישנם סכומים או מכפלות פשוטים שאפשר למצוא עבורם נוסחא באמצעות ניסוי וטעייה, אך בנוסחאות מורכבות יותר הדבר הופך לבלתי אפשרי (או אפשרי, עם המון המון מזל והמון המון זמן...).
      החלטתי להקדיש את הכתבה הזו למציאת סכומים, ולא למכפלות. ומדוע? כי רוב הנוסחאות שבהם אנו נתקלים מורכבים דווקא ממכפלות, ולא מסכומים. בנוסף, הכתבה תוקדש לנוסחאות שניתן להוכיח בכלים של אדם בכיתה יב', ולכן, למשל, לא יינתן בכתבה הסבר למציאת סכומים הדורשים ידע בקומבינטוריקה. כאן נכנסת יפה האינדוקציה. אולם ניתן להוכיח יחסית בקלות באינדוקציה ש-1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n!=(n+1)!-1, כלומר, בעזרת כלי שנכלל בתוכנית הלימודים דאז, אבל כיום, ללא ידע בקומבינטוריקה - נושא שנלמד מעט מאוד בתוכנית הלימודים - לא ניתן להוכיח את הסכום.
      אז, שנתחיל?

      הסימן \Sigma.

      "מתמטיקאים הם עצלנים", כך המורה למתמטיקה שלי נהג לומר.וזה, למעשה, נכון. מתמטיקאי לרוב יחפש את הדרך ...
      ע"י ,  מספר צפיות: 1753 
      תלמי.png

      בשבוע הבא אסגור בצבא ולא אפרסם כתבה חדשה, אז החלטתי לפרסם אותה עכשיו (וגם המשפט החדש דיי "בער" - בקרוב תבינו למה ). מקווה שעל אף העומס בכתבות האחרונות (שלוש בשבוע, שזה דיי יפה, אך אמנם לא כיוון שהיה לי הרבה זמן חופשי...) עדיין תהיינה תגובות, הערות והארות.
      בהצלחה לנו
      -------------------------------------------------------------------------------------------
      בכתבה על אודות נוסחת הרון, נוסחת ברהמגופטה ונוסחת ברטשניידר, ציינתי שזוהי כתבה שתהווה המשך לשתי הכתבות הבאות. נזכיר שבכתבה הזו הוכחנו את נוסחת הרון והבענו בעזרתה את רדיוס המעגל החוסם את משולש ואת רדיוס המעגל החסום במשולש באמצעות שלוש צלעות המשולש. בכתבה על אודות רדיוס מעגל חוסם במשולש, רדיוס מעגל חסום במשולש ומשפט אויילר, הוכחנו את משפט אויילר בגיאומטריה ונעזרנו בנוסחת הרון על מנת להביע את המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החוסם משולש באמצעות שלוש צלעות המשולש. בכך, אכן קיימתי את מה שאמרתי, או לפחות חלקית.
      כעת, אתרכז לאו דווקא בנוסחת הרון, התקפה עבור משולשים, אלא דווקא בנוסחת ברטשניידר ובנוסחת ברהמגופטה כדי להוכיח דברים דווקא במרובע . מפאת עומס חומר מחד וחוסר זמן מאידך, הכתבה תחולק לשתי ...
      ע"י ,
      480px-leonhard_euler_2.jpg

      שלום לכולם,
      במסגרת הכתבות השבועיות שאני כותב בזמן האחרון, ובהמשך ישיר לכתבה הקודמת, תהיתי על איזה משפט ארחיב הפעם. המשפט שארחיב עליו הפעם הוא משפט אויילר (לא להתבלבל עם "משפט החלוקה של אויילר", "משפט אויילר לפונקציות הומוגניות", "משפט אויילר" בתורת המספרים ועוד ועוד ועוד...) משפט "הקצר" יותר, בניגוד למשפטים שהובאו בכתבה הקודמת, ובניגוד למשפטים שעתידים לבוא - אך אין זה אומר שהוא לא חשוב, ולא מציג חלק יפה בגיאומטריה, שאין דיי זמן ללמד אותה בתוכנית הלימודים כיום.
      אז, שנתחיל?

      קצת על לאונרד אויילר

      (תמונה מויקיפדיה)
      על אף שהכתבה נועדה להסביר על משפט אויילר בגיאומטריה, אי אפשר להתעלם מהמוכיח שלה - לאונרד אויילר. לא אלאה בפרטים ביוגרפיים - איפה למד, מה למד וכד', אך אציין שלאונרד אויילר נחשב לאחד המתמטיקאים הנחשבים והדגולים ביותר בכל הזמנים, ונחשב לפורה ביותר מכל המתמטיקאים. אויילר לא פעל רק בתחום המתמטיקה, אלא פעל גם בתחום הפיזיקה, ובפרט במכניקה, והוכיח דברים מרשימים עד מאוד. בין התגליות המפורסמות ביותר של אויילר נחשבת הנוסחא (המפתיעה) e^{\pi i}+1=0. מי שיתהה למה המתמטיקאים, שאוהבים דברים פשוטים כמה שאפשר, השאירו את הנוסחא כך, ולא בצורה e^{\pi i}=-1, יוכל לראות שהנוסחא דלעיל מקשרת בין הקבועים המתמטיים הבסיסיים ביותר, \pi - היחס בין היקף המעגל לקוטרו, i, השורש המרוכב של 1-, e - הבסיס של הפונקציה המעריכית שהמשיק דרכה בנקדוה (0,1) הוא 1 (הוכחה ניתן לקרוא באשכול אז למה גוזרים כך? בשאלון 807 בפורום, תחת הכותרת .נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית / נגזרת של e), וכן המספרים הניטרליים עבור פעולות הכפל והחיבור, 0 ו-1 בהתאמה. אולי חלקכם יתהו איך בעצם אפשר להעלות מספר בחזקה מרוכבת (הרי חזקות מבטאות את מספר הפעמים בהם אנו מכפילים בסיס - כלומר, קיצור של פעולת הכפל: a\cdot a\cdot a....=a^{n}, אם a מוכפל n פעמים) - המתעניינים, מוזמנים לקרוא בבלוג "לא מדוייק", אותו הצגתי כבר בכתבות הקודמות: ; נוסחת אוילר | לא מדויק לחלופין, ניתן גם לקרוא בספר "המסע שאינו נגמר" של חיים שפירא, שאותו הצגתי גם לפני שתי כתבות.
      למעשה, הצירוף "משפט אויילר" הוא כללי למדיי - כיוון שאויילר עסק בתחומים רבים, וישנם עשרות משפטים הנושאים את השם "משפט אויילר".כמו משפט אויילר בתורת הגרפים (גם כאן, קישור מאותו בלוג נפלא, כדי לא להעמיס מתמטיקה אוניברסיטאית על הקוראים).
      אם נצלול חזרה לחומר המוכר יותר (ולא לתורת הגרפים - תחום מרתק, אך באוניברסיטה בלבד), אויילר מצא פתרון לבעיית בזל - ניסיון למצוא מהו ערך הביטוי \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n^2}, כלומר, מהו ערך הסכום \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.... אולי זוהי נראית בעיה קלה להפליא, אך טובי המתמטיקאים ניסו לפתור אותה ללא הועיל - ואויילר, שהפגין לא פעם שיטות מחשבה יוצאות דופן, פתר אותה בשנת 1975. הפתרון, למי שמסתקרן, מפתיע עוד יותר: \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} (וגם כאן, אותו קבוע חמקמק, שנלקח בכלל מתחום הגיאומטריה, משתלב לנו). עוד תגלית נאה היא העובדה שבכל פאון אפלטוני, קרי, פאון שבסיסיו הם מצולעים משוכללים, מתקיים הקשר V-E+F=2, כאשר V הוא מספר הקודקודים, F הוא מספר הפאות ו-E הוא מספר הצלעות. מי שלא זוכר מהו בסיס, מהו פאה, מהו קדקוד ומהי צלע בגיאומטריה במרחב, מומלץ לחזור על החומר . כדי לקרב אותנו קצת יותר למאמר, תגלית נפלאה המיוחסת לאויילר היא הקו של אויילר, עליו אולי אכתוב כתבה נפרדת.

      אויילר לא סתם גילה והוכיח משפטים ובעיות בלתי פתורות - האגדה מספרת שלא פעם הוא הוכיח טענה, אך בחר לא לפרסם אותה, על מנת שמתמטיקאים צעירים ופחות מנוסים יוכלו להוכיח אותה ולהירשם על דפי ההיסטוריה. גם לעת זקנתו, הוכיח אויילר משפטים קריטיים וחשובים - שאנו יכולים ללמוד מהם המון.

      לא אוכל לעולם להסביר ולהוכיח את כל משפטיו של אויילר (שדורשים ממני הן זמן והן ידע שלא נמצא ברשותי), אך אציין שניתן למצוא המון מידע באינטרנט. בבלוג "לא מדוייק" מופיעים המון משפטים יפים של אויילר עם הסברים פשוטים שלהם (בניגוד לניסוחים המתמטיים - שדורשים ידע בהגדרות ובענפים שאין לנו ידע עליהם) - אפשר רק להנות מפירותיו של אויילר כרגע , ולהבין מה אויילר תרם לנו לענפים המתמטיים האלו. בכתבה, כמו שניתן להסיק מפסקת ההקדמה, אתמקד במשפט אויילר בגיאומטריה

      מרחק בין שתי נקודות

      אין דבר בסיסי יותר בגיאומטריה, מאשר מרחק ביו שתי נקודות. ידוע לנו שדרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד ויחיד (אפשר להבין זאת אינטואטיבית, אפשר גם באמצות נוסחאות: שיפוע בין שתי נקודות ניתן ע"י הנוסחא m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, ומשוואת ישר ע"פ נקודה ושיפוע ניתנת ע"י הנוסחא: y=m(x-x_1)+y_1), אך לא תמיד אנו יכולים לחשב את המרחק בינן באמצעות הפרמטרים הנתונים לנו. אולם הגיאומטריה האנליטית, מקדמת אותנו בפתרון הבעיה, שכן היא קובעת שריבוע המרחק בין שתי נקודות ניתן באמצעות סכום ריבוע הפרשי שיעורי ה-xים שלהן ועם ריבוע הפרשי ה-yים שלהן (d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}), אך לא תמיד מציאת שיעור נקודה מסויימת הוא קל, ולעיתים הוא יכול להיות קשה עד מאוד.

      בפסקה הזאת, נסתכל על שתי נקודות ספציפיות מאוד - מרכז המעגל החוסם את המשולש ומרכז המעגל החסום במשולש. נמחיש זאת באמצעות תרגיל בגרות שניתן לתלמידי 5 יח"ל, בקיץ תשל"ז - שנת 1976.

      התרגיל לא קשה (בייחוד עקב בניות העזר שכבר הוצגו) בתרגיל, ולשם הכתבה, נפתור אותו (אתם מוזמנים קודם לפתור אותו בעצמכם - על-מנת להשתתף באופן פעיל בכתבה - מי שהצליח, כדאי שיידלג, כדי להימנע מעומס של החישובים ומהפתרון, מי שלא, יכול להמשיך לנסות, ואם התייאש - לקרוא).

      תחילת הפתרון

      O היא מרכז המעגל החסום במשולש, ולכן היא גם נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש. מכאן, שהקטע BO הוא חוצה זווית במשולש, ולכן \angle ABO=\angle  OBC=\frac{\alpha}{2}. נסמן את נקודת החיתוך של הקטע AMO עם הבסיס BC ב-D. הקטע AD הוא אנך אמצעי במשולש (עובר דרך מרכז המעגל החוסם את המשולש, שהוא גם מפגש האנכים האמצעיים במשולש, והרי שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת), ולכן הקטע BC אנך לקטע AD. נסמן, BD=k.
      המשולש AOD הוא משולש ישר זווית, וניתן להשתמש בו בהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות.
      tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{OD}{BD} \\ OD=BDtan(\frac{\alpha}{2}) \\ (1) \ OD=ktan(\frac{\alpha}{2})

      הקטעים BM ו-AM הם רדיוסים במעגל החוסם את המשולש (אם קשה לראות זאת, מומלץ לצייר את המעגל החוסם את המשולש), ולכן הם יוצרים משולש שווה שוקיים (רדיוסים במעגל שווים).אם כך, הזוויות BAM ו-MBA במשולש AMB שוות (מול צלעות שוות במשולש מונחות זוויות שוות במשולש). המשולש BAM ישר זווית (הסברנו מדוע) ובו סכום הזוויות הוא 180. מכאן, \angle  BAD=90-\alpha, וכן \angle ABM=90-\alpha.. מתקיים \angle ABO=\frac{\alpha}{2} וגם \angle  ABM=90-\alpha. מהפרש זוויות מקבלים:
      \angle MBO=\angle ABO-\angle ABM . נציב את מה שמצאנו ונקבל:
      \angle MBO=\frac{\alpha}{2}-90+\alpha \\ \angle MBO=\frac{3\alpha}{2}-90.
      מסכום זוויות, מקבלים: \angle MBD=\angle MBO+\angle OBD. נציב מה שמצאנו ונקבל:
      \angle MBD=\frac{3\alpha}{2}-90+\frac{\alpha}{2} \\ \angle MBD=2\alpha-90.
      גם המשולש BMD ישר זווית, ולכן ניתן להשתמש בו בהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות:
      tan(2\alpha-90)=\frac{MD}{BD} \\ BDtan(2\alpha-90)=MD \\ (2) \ MD=ktan(2\alpha-90)

      נקודה חשובה:
      OD הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ו-MD הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש, כלומר, מצאנו נוסחא לרדיוס המעגל ולרדיוס המעגל החוסם משולש שווה שוקיים באמצעות אורך מחצית הבסיס [שאפשר בקלות להפכו לגודל הבסיס, ולא רק לחציו, וכן גודל זווית הבסיס) ונוסחא למציאת רדיוס המעגל החסום במשולש שווה שוקיים באמצעות אורך מחצית הבסיס [וגם כאן, ניתן להפכו לגודל הבסיס, ולא רק לחציו של הבסיס, וכן גודל זווית הבסיס]
      המרחק, d, ניתן לחישוב ע"י ההפרש בין MD ל-OD. מכאן,
      MD-OD=d \\ ktan(2\alpha-90)-ktan(\frac{\alpha}{2})=d \\ k=\frac{d}{tan(2\alpha-90)-tan(\frac{\alpha}{2})}
      נזכור ש-k מבטא רק את חצי גודלו של הבסיס, ולכן נכפיל את שני הצדדים פי 2. נקבל:
      2k=\frac{2d}{tan(2\alpha-90)-tan(\frac{\alpha}{2})}

      לא נהוג בגיאומטריה להשאיר פונקציות טריגונומטריות מחוסרות ב-90, ולכן, נפשט את הביטוי. נסתכל על המכנה:
      tan(2\alpha-90)-tan(\frac{\alpha}{2})
      ניעזר בזהות: tan(-\varphi)=-tan(\varphi)
      ונקבל:
      -tan(90-2\alpha)-tan(\frac{\alpha}{2}) \\ -(tan(90-2\alpha)+tan(\alpha}{2})
      נפתח לפי tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)] ונקבל:
       -(\frac{sin(90-2\alpha)}{cos(90-2\alpha)}+\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})})
      ניעזר בנוסחאות: sin(90-\varphi)=cos(\varphi) \ \ cos(90-\varphi)=sin(\varphi), ונקבל:
      -(\frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)}+\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})})
      מכנה משותף, ולאחריו, שימוש בזהות cos(\varphi-\phi)=cos(\varphi)cos(\phi)+sin(varphi)sin(\phi) מניב:
      -(\frac{cos(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})-sin(2\alpha)sin(\frac{\alpha}{2})}{sin(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})})

      -(\frac{cos(2\alpha-\frac{\alpha}{2}))}{sin(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})})

      -(\frac{cos(\frac{3\alpha}{2})}{sin(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})})

      מהתוצאה המפושטת שקיבלנו, נציב את הביטוי בנוסחא שקיבלנו עבור גודל הבסיס, ונקבל (ללא הצגת החישובים):
      2k=-\frac{2dsin(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{3\alpha}{2})}
      סוף הפתרון

      כמובן, שישנן דרכים רבות לפתור את התרגיל, בינן שימוש במשפט הקוסינוסים במשולש MBO לאחר שהבענו את BO, BM ו-\angle MBO. או שימוש במשפט הסינוסים בעזרת הזווית MBO או AMB, שהן זוויות חיצוניות למשולש MOB ו-BAM בהתאמה.

      מבחינה עקרונית סיימנו את התרגיל, אך נושא הכתבה אינו דווקא למצוא את גודל הבסיס במשולש שווה שוקיים, אלא למצוא את המרחק בין מרכז המעגל החוסם לבין מרכז המעגל החסום. ולכן, נבודד המרחק (שינוי נושא נוסחא) ונקבל:
      d=-\frac{2kcos(\frac{3\alpha}{2})}{sin(2\alpha)cos(\frac{\alpha}{2})}

      ננתח את הנוסחא שקיבלנו:
      א. ישנו סימן מינוס. אין צורך להתרגש מכך:הוא נובע מכך ש-cos(180-\varphi)=-cos(\varphi), והרי שזווית בסיס במשולש שווה שוקיים היא בהכרח חדה (למה?), ולכן הביטוי \frac{3\alpha}{2} מהווה זווית קהה.
      ב. הוא מבטא את גודל המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש לבין מרכז המעגל החוסם במשולש במשולש שווה שוקיים, זאת באמצעות גודל בסיס המשולש וגודל זווית הבסיס שלו.
      ג. לזוויות מסויימות הביטוי יצא שלילי (למשל, עבור \alpha=80), ולזוויות מסויימות הביטוי יצא חיובי (כך למשל \alpha=30). גם כאן אין טעם להתרגש מכך. בשרטוט הנחנו שהנקודה M נמצאת מעל הנקודה O, וזה לא תמיד נכון . ניתן להראות כי כאשר 60<\alpha<90 המרחק חיובי, כלומר, M נמצאת מעל O, ועבור 0<\alpha<90 המרחק שלילי, כלומר, הנקודה O נמצאת מעל הנקודה M (אתם מוזמנים לעשות זאת, אך נדרש ידע באי שוויונים טריגונומטריים).
      ד. הצבה של \alpha=60 נותנת d=0, כלומר, במשולש שווה שוקיים עם זווית בסיס של 60, כלומר, במשולש שווה צלעות, המרחק בין מרכז המעגל החוסם לבין מרכז המעגל החסום הוא 0.
      ה. במהלך פיתוח הנוסחא, מצאנו גם נוסחאות לרדיוס המעגל החוסם ולרדיוס המעגל החסום במשולש שווה שוקיים, באמצעות זווית בסיס ואורך מחצית בסיס המשולש.

      זוהי נוסחא חמודה, אך טמונים בה כמה מוקשים:
      א. הנוסחא תקפה למשולש שווה שוקיים בלבד - שהוא מקרה פרטי, בו מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום נמצאים על הגובה לבסיס.
      זה לא תמיד קורה, וזוהי תכונה שתקפה אך ורק במשולש שווה שוקיים.
      ב. השתמשנו בטריגונומטריה כדי למצוא המרחק d - כמו שכתבתי בכתבות הקודמות (ובפרט ב-Emath - בגרות במתמטיקה, פיסיקה - השילוב בין הטריגונומטריה לגיאומטריה וב-Emath - בגרות במתמטיקה, פיסיקה - משפטים שלא נלמדים בתוכנית הלימודים - נוסחת הרון, משפט ברהמגופטה ומשפט ברטשניידר), הטריגונומטריה טומנת בחובה קושי בחישובים בחיים האמיתיים.

      אם כך, מה קורה במשולשים אחרים, שאינם שווי שוקיים? להלן שרטוטים של שלושה משולשים כאלה - חד זווית, ישר זווית וקהה זווית - שהוכנו באמצעות התוכנה גיאוגברה.

      נוכל לשים לשתי מסקנות שעולות מהשרטוטים:
      א. מרכז המעגל החסום במשולש נמצא תמיד בתוך המשולש.
      ב. מרכז המעגל החוסם משולש יכול להיות בתוך המשולש (ואז המשולש הוא חד זווית), על צלע המשולש (ואז המשולש הוא ישר זווית) או מחוץ למשולש (ואז המשולש הוא קהה זווית).

      האם נוכל היעזר בשתי המסקנות הללו, כדי למצוא נוסחא פשוטה למרחק בין שתי הנקודות הללו? ואם כן, האם נוכל למצוא נוסחא ללא פונקציות טריגונומטריות? השאלה הזו העסיקה מתמטיקאים רבים, ומי שמצא נוסחא כזאת היה, איך אפשר שלא, אויילר .

      משפט אויילר

      אציג את השרטוט להוכחה. השרטוט נראה מסובך מאוד, אבל ההוכחה פשוטה מאוד (מה שלרוב קורה עם שרטוטים מסובכים...). מומלץ לא להיכנס לפאניקה מיותרת:


      עקבו צעד-צעד, לא לפחד לרגע [כשאני ראיתי את השרטוט בפעם הראשונה, הזדעזעתי והחלטתי לוותר על המשפט. לאחר שבוע, פתחתי את השרטוט שוב ועקבתי צעד אחרי צעד על מנת להבין את ההוכחה, ונדהמתי לגלות את גאוניותו של אויילר - כיצד חשב על השרטוט הנ"ל, כיצד הוכיח בקלות את הטענה הזו!).
      נצייר משולש ABC ונחסום אותו במעגל (דרך שלוש נקודות עובר מעגל אחד ויחיד). נסמן את מרכז המעגל החוסם ב-O (צבוע בירוק בשרטוט שלנו).
      נצייר גם את המעגל החסום במשולש ABC, ונסמן את מרכזו ב-M (מסומן בכחול בשרטוט שלנו).
      לאחר מכן, נסמן: \angle A=\alpha \ \ \ \angle C=\gamma. נחבר את A ו-M ואת C ו-M. הקטעים AM ו-CM הם חוצי זוויות במשולש ABC, כיוון שהם עוברים דרך נקודת מפגש חוצי הזוויות, דהיינו, מרכז המעגל החסום במשולש.
      מטענה זאת, נובע \angle BAM=\angle CAM=\frac{\alpha}{2} \ \ \ \angle MCA=\angle MCB=\frac{\gamma}{2}.
      נאריך את הקטע AM עד שהוא יחתוך את המעגל החוסם בנקודה L. את הנקודה L נחבר עם הנקודה C, ממנה העברנו את חוצה הזווית. נחבר את הנקודה L ואת הנקודה O - מרכז המעגל החוסם את המשולש - ונאריך את הקטע עד שיחתוך את המעגל החוסם בנקודה K. נחבר בין הנקודות K ו-C.
      לבסוף, נוריד רדיוס ממרכז המעגל החסום במשולש אל הצלע אליה נוכל להמשיך את חוצה הזווית שהורדנו - CM - ונסמן את נקודת החיתוך ב-P. נסיים את השרטוט בהעברת קטע NJ שעובר דרך הנקודות O ו-M - מרכז המעגל החוסם את המשולש ומרכז המעגל החסום במשולש בהתאמה.

      ועכשיו: להוכחה
      .
      הזווית KCL היא זווית ישרה (נשענת על הקוטר KL, והרי זווית היקפית הנשענת על קוטר - ישרה). הזווית APM גם היא ישרה (המעגל החסום במשולש משיק לצלעות המשולש + רדיוס מאונך למשיק בנקודה ההשקה). הזוויות LAC ו-CKL הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת CL, ולכן שוות זו לזו. מכלל המעבר, מקבלים \angle  CKL=\angle BAL=\frac{\alpha}{2}. בצירוף עם הזוויות הישרות, מקבלים שהמשולשים KCL ו-APM דומים לפי ז-ז. נסמן את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ב-R, ואת רדיוס המעגל החסום במשולש ב-r. מסיבה זאת, מתקיים AL=2R,  PM=r
      במשולשים דומים, צלעות מתאימות פרופרציונאליות זו לזו. מכאן:
      \frac{PM}{CL}=\frac{AM}{AL}
      מכאן,
      PM\cdot AL=AM\cdot CL
      ולכן, אם נציב נתונים:
      (1) \ 2Rr=AM\cdot CL

      כעת, נסתכל על משולש MAC. הזווית LMC חיצוניות למשולש זו, ולכן היא שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות לה. מכאן, \angle  LMC=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}.
      מאידך, הזוויות LCB ו-BAL הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת BL, ולכן הן שות זו לזו. מכאן, \angle BAL=\angle LCB=\frac{\alpha}{2}. ניעזר בסכום זוויות, ונקבל:
      \angle LCB+\angle MCB=\angle BCM=MCL \\ \angle MCL=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}
      ולכן, \angle MCL=\angle LMC=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}.
      במשולש MCL, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן, LM=LC.
      נחזור למשוואה (1), ונציב את מה שמצאנו. נקבל,
      (2) \ 2Rr=AM\cdot LM
      אם נסתכל חזרה על השרטוט, נוכל לראות שבעצם מצאנו תכונה מדהימה: מכפלת רדיוס המעגל החסום וברדיוס מעגל החוסם את המשולש, שווה למחצית מכפלת הקטע המחבר בין נקודת מפגש חוצי הזוויות לקודקוד לבין הקטע המחבר בין נקודת מפגש חוצי הזוויות לרדיוס המעגל החוסם את המשולש.

      נסתכל כעת על הקטעים NJ ו-AL. אם נתעלם מכל הנתונים האחרים, נוכל בקלות לראות שהם שני מיתרים במעגל החוסם את המשולש הנחתכים בנקודה M. נסמן את המרחק בין הנקודה M לנקודה O ב-d. מכאן, אורך הקטע NM הוא NM=R+d, ואורך הרקטע MJ הוא MJ=R-d.
      שני מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה אחת מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני, ולכן:
      AM\cdot LM=MJ\cdot NM
      נציב את נוסחא (2) וכן את אורכי NM ו-MJ ונקבל:
      (R+d)(R-d)=2Rr
      ניעזר בנוסחא להפרש ריבועים, a^2-b^2=(a+b)(a-b), ולכן:
      R^2-d^2=2Rr
      אם נסדר קצת נקבל:
      R^2-2Rr=d^2 \\ R(r-2r)=d^2
      כלומר, במשולש כלשהו, המרחק בין מרכז המעגל החוסם את המשולש למרכז המעגל החסום במשולש תלוי אך ורק ברדיוס המעגל החוסם וברדיוס המעגל החסום במשולש.
      אולם השרטוט הוא עבור משולש חד זווית בלבד (שכן מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש), אך הבנייה תקפה עבור משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית - ואין זה משנה המיקום של הנקודה O. למעשה, אויילר מצא נוסחא גיאומטרית, שאיננה תלויה בפונקציות טריגונומטריות.

      משפט אויילר בגיאומטריה - ניתוח
      גם בנוסחא הזו טמונה בעיה: לא קל למצוא את מרכז המעגל החוסם משולש ואת מרכז המעגל החסום במשולש באמצעים גיאומטרים למהדרין. אבל, זה לא מאוד מפריע לנו. בכתבה הקודמת הצלחנו להראות באמצעות נוסחת הרון כי:
      R=\frac{abc}{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \ \ \ r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ...
      עמוד 1 מתוך 2 1 2 אחרוןאחרון
    אודות Emath
    האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
    מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
    אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
    כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

    לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
    הצטרפו אלינו